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| 《21世紀資本論》（Capital in the Twenty-First Century）作者皮凱提（Thomas Piketty） |
一、原书介绍
要说起当前在美国乃至整个西方最火的一本书，无疑是法国经济学家Thomas Piketty的《21世纪资本论》。一本厚达六七百页的专业学术著作，竟然高居亚马逊畅销书榜榜首，在美国连续两次印刷都卖到断货，是令人乍舌的现象。笔者所在的小镇图书馆一口气购入8本，但前几天检查发现，不但早已全部借出，排队等待的居然有130多人。
这本书为何如此之火？据说此书揭示了一个资本主义社会的本质矛盾。作者通过大量的数据搜集和理论论证，将这个基本矛盾简化为只包含三个符号的公式：r>g。这里r表示资本的净收益率，g表示国民总收入增长率。Piketty教授搜集的历史数据，涵盖的时间尺度长达百年甚至千年。通过这些历史数据的考察，他指出，排除通胀因素后，西方各资本主义国家的资本净收益率长期保持在5%左右，而国民收入的增长率，尤其是扣除了人口增长带来的经济扩张之后，长期稳定水平只有1%。而一些亚洲国家较高的增长率，只是在"追赶"阶段的暂时现象而已。当这一阶段结束后，增长率也会逐渐变慢并趋向于1%的数字。
他认为，这样的数字反映了资本主义下经济发展的基本现实和未来的长期规律。按照这种比例，随着资本家将获得的投资回报不断投入再生产，资本总量扩张的速度将比国民总收入扩张的速度快很多（相当于r与g的差别）。长此以往，资本家占有的财富和国民总收入相比，会达到令人无法忍受的巨大数值。资本家的财富通过后代不断继承，会形成一个高度富裕，不劳而获的食利阶层。这样的社会，无疑是高度不平等的社会。各种严重问题就要出现——穷人暴动，社会动荡不可避免。同时，该问题是资本主义制度本身的逻辑所内生，因此自身无法摆脱。
而众所周知的是，20世纪资本主义带来了经济的空前繁荣，非但上面所述的末日景象并未出现，反而在西方各国出现了强大的中产阶级，贫富差距大大缩小。怎么解释这一现象呢？Piketty认为，这只是例外情况。其原因主要在于20世纪爆发的两次世界大战，大萧条，战时和战后的高税收等外因对资本造成了巨大破坏，遏制了资本。但这样的事件，以后不会再有，因此从现在开始（他认为其实从80年代已经开始），资本主义社会将越来越不平等。
作为解决问题的方案，Piketty提出，增收高额的累进财产税。并建立全球税制，防止资本外逃。由他作为顾问的法国社会党政府，已经实行了75%的最高收入税和财产税政策。
所以这本书火爆的原因也就明确了，就美国来说，在08年经济危机之后，对"经济不平等"议题的讨论本来就较多，各种左派反资本主义思潮正在崛起。"经济平等"被纳入所谓社会正义（social justice)的核心论题。这本书的出现，无疑给予了控诉经济不平等的左派人士以学术可信度(credibility)。几位著名经济学家如诺贝尔奖获得者克鲁格曼，斯蒂格利茨，索罗也加入了为Piketty摇旗呐喊的行列。一时间r>g的所谓资本主义核心矛盾似乎已经无可置疑。
不过既然这本书这么重要，也立刻受到怀疑者的认真检视。最近一段时间，质疑的声音逐渐多了起来。尤其是权威经济学家，前美国财长，哈佛校长萨默斯撰文对Piketty的经济学推理进行了批评。其他提出批评的经济学家包括哈佛的曼昆，费恩斯坦，乔治梅森大学的Taylor Cowen等等。
目前据笔者观察，国内学术界对此书的了解大致限于几篇克鲁格曼的支持性评论。对反对的意见以及此书存在的内在问题了解大大不足。笔者准备就此点通过系列文章进行展开，一方面对批评意见进行综述，一方面论述自己的看法。
这本书为何如此之火？据说此书揭示了一个资本主义社会的本质矛盾。作者通过大量的数据搜集和理论论证，将这个基本矛盾简化为只包含三个符号的公式：r>g。这里r表示资本的净收益率，g表示国民总收入增长率。Piketty教授搜集的历史数据，涵盖的时间尺度长达百年甚至千年。通过这些历史数据的考察，他指出，排除通胀因素后，西方各资本主义国家的资本净收益率长期保持在5%左右，而国民收入的增长率，尤其是扣除了人口增长带来的经济扩张之后，长期稳定水平只有1%。而一些亚洲国家较高的增长率，只是在"追赶"阶段的暂时现象而已。当这一阶段结束后，增长率也会逐渐变慢并趋向于1%的数字。
他认为，这样的数字反映了资本主义下经济发展的基本现实和未来的长期规律。按照这种比例，随着资本家将获得的投资回报不断投入再生产，资本总量扩张的速度将比国民总收入扩张的速度快很多（相当于r与g的差别）。长此以往，资本家占有的财富和国民总收入相比，会达到令人无法忍受的巨大数值。资本家的财富通过后代不断继承，会形成一个高度富裕，不劳而获的食利阶层。这样的社会，无疑是高度不平等的社会。各种严重问题就要出现——穷人暴动，社会动荡不可避免。同时，该问题是资本主义制度本身的逻辑所内生，因此自身无法摆脱。
而众所周知的是，20世纪资本主义带来了经济的空前繁荣，非但上面所述的末日景象并未出现，反而在西方各国出现了强大的中产阶级，贫富差距大大缩小。怎么解释这一现象呢？Piketty认为，这只是例外情况。其原因主要在于20世纪爆发的两次世界大战，大萧条，战时和战后的高税收等外因对资本造成了巨大破坏，遏制了资本。但这样的事件，以后不会再有，因此从现在开始（他认为其实从80年代已经开始），资本主义社会将越来越不平等。
作为解决问题的方案，Piketty提出，增收高额的累进财产税。并建立全球税制，防止资本外逃。由他作为顾问的法国社会党政府，已经实行了75%的最高收入税和财产税政策。
所以这本书火爆的原因也就明确了，就美国来说，在08年经济危机之后，对"经济不平等"议题的讨论本来就较多，各种左派反资本主义思潮正在崛起。"经济平等"被纳入所谓社会正义（social justice)的核心论题。这本书的出现，无疑给予了控诉经济不平等的左派人士以学术可信度(credibility)。几位著名经济学家如诺贝尔奖获得者克鲁格曼，斯蒂格利茨，索罗也加入了为Piketty摇旗呐喊的行列。一时间r>g的所谓资本主义核心矛盾似乎已经无可置疑。
不过既然这本书这么重要，也立刻受到怀疑者的认真检视。最近一段时间，质疑的声音逐渐多了起来。尤其是权威经济学家，前美国财长，哈佛校长萨默斯撰文对Piketty的经济学推理进行了批评。其他提出批评的经济学家包括哈佛的曼昆，费恩斯坦，乔治梅森大学的Taylor Cowen等等。
目前据笔者观察，国内学术界对此书的了解大致限于几篇克鲁格曼的支持性评论。对反对的意见以及此书存在的内在问题了解大大不足。笔者准备就此点通过系列文章进行展开，一方面对批评意见进行综述，一方面论述自己的看法。
二、 r>g与储蓄率s
首先来考虑一下r>g的所谓资本主义基本矛盾问题。说起这个，必须提起我目睹并参与的推特上两位著名美国知识分子的一番争论。
这两人一位是著名媒体人，目前在美国很火爆的独立媒体VOX创办人Matt Yglesias。这个VOX有些类似国内自媒体"大象工会"，对各类事件进行"深度解释性报导"。Piketty访问美国，受到摇滚歌星般的热烈欢迎，Yglesias阅读全书后，亲自对其进行长篇专访，并在VOX上向读者对此书进行了全面的介绍。可见他对Piketty思想的把握程度。
另一位则是硅谷著名投资人Marc Andreessen。是著名的互联网先驱，网景浏览器的发明者。他在争论时自承并没有读过这本书，只是通过各方评论了解其思想。
Marc Andreessen表示根据自己的投资经验，不能同意Piketty资本回报率会长期稳定在5%水平的看法。他说自己认识的所有投资人，都极为希望世界真如Piketty所描述的那么"美好"，拿到5%长期回报，大大跑赢国民收入增长，真有那么容易。但可惜，从实际投资经验看，难以置信。
而Yglesias认为r>g非常容易证明。他解释道，假设经济停滞，国民收入增长为g=0，此时一位拥有地产可供出租的资本家，资金收益r仍然会大于0，人总得住房子对不对？所以r>g，命题得证！就这么简单！
看上去真的很简单，Marc Andreessen一下子张口结舌，说不出什么反驳。
不过我作为围观者，却觉得这里有个很显然的错误。因为所谓r>g，意思不只是某一件确定的资产拿到的回报会有r（例如5%），而是指这些回报能被进行再投资，导致资产扩大，扩大的资产仍有同样的回报，滚雪球一般不断扩张。
所以经济停滞时现有的地产有再高的租金回报都证明不了什么。Piketty理论所要求的，是这些租金回报重新投资，比如，盖了新的房子，然后再出租，仍能拿到同样的回报，然后再盖新房。。。产业不断扩大。
这时问题来了。因为整体经济停滞，怎么肯定盖了新房还能找到租客入住，且保持较高的租金水平？完全无法保证。而资本家如果意识到这一点，根本不会去费力做再投资的亏本买卖。还不如自己把钱消费掉！
这样看，Yglesias的错误就清楚了，他没有考虑再投资的问题。没有想到资本家要再投资，将回报变成新的资本，不是自然而然和随心所欲的，而是和整体经济状况密切相关。而Marc Andressen虽然没看过此书，但他的直觉是正确的，因为他的职业，正相当于拿资本家的回报去盖新房，找新的租客入住。所以他知道这不容易！
我发推指出了Yglesias的错误所在。令人高兴的是Marc Andressen立即收藏了该推文，表明认同该看法。
所以这直观指出了很多Piketty拥趸的一个关键遗漏，即资本家的再投资率或储蓄率s_c(saving rate)。简而言之，资本家在挣了100块钱后，自己会消费掉多少？会把多少钱省下来进行扩大再生产？这里"储蓄"和"再投资"二词通用，因为从会计学角度看，任何省下的钱均直接自动成为新的资本。假定资本回报保持在r（约等于5%），则资本的扩张速度其实是r*s_c，而不是r。所以应该比较的，不是r和g的大小，而是r*s_c和g的大小！根据上面的例子，s_c和国民收入增长g密切相关。如果经济形势好，g会较高，投资有利可图，s_c自然较高。反之g若很低甚至为0，投资容易亏本，s_c会随之降低。
这么简单的一个常识，Piketty本人是否提到？还真提了。让我们回到原书，审视一下他的原话。
在我购买的英文版351页，Piketty论述到：
'For example, if g=1% and r=5%, saving one-fifth of the income from capital (while consuming the other four-fifths) is enough to ensure that capital inherited from the previous generation grows at the same rate as the economy. If one saves more, because one's fortune is large enough to live well while consuming somewhat less of one's annual rent, then one's fortune will increase more rapidly than the economy, and inequality of wealth will tend to increase even if one contributes no income from labor.'
翻译：例如，假设g=1%, r=5%, 资产继承者（富二代）只需要储蓄（按前面解释，这等于再投资）1/5的资本回报就可以使资本增值速度和国民收入增速一致。但因为他们的富有，他们很容易将更多比例的资本回报用于再投资，结果则会是他们的资本增值率超过经济增长，财富的不平等会随之加剧，即便（富二代）不劳而获。
所以我们清楚了，在Piketty的理论中，富二代等资本持有者进行再投资是随心所欲的，和总体经济状况无关的。无论经济如何，他们均可任意投资并取得同样的回报。这和前面所说的经济停滞新房子也能高价租的出去一样缺乏依据。怪不得投资人Marc Andressen没法被说服。
用点经济学的术语讲，Piketty这里的问题在于其设置了太多的外生独立变量而不考虑他们的相互关系。在他看来，r,g按照历史数字有确定值，然后s_c外生，可以随心所欲的设定。在他的论述中，他没有解释，就算富二代"很容易"省下超过1/5的回报并再投资，他们为何要这么做？他们为何不考虑再投资的风险？
另一方面，Piketty的书中以提供大量数据著称，r和g的历史数值各国的都有。那么他有没有提供资本家的储蓄率（或再投资率）s_c使我们能验证他的理论呢？只有一处有与此有关的数据。在第10章图表10.8中，Piketty提供了法国从1820年至1913年，每10年的全民平均储蓄率s，这个概念和前面说的资本家储蓄率有一定差别，但可以互相换算。下面我们进行一些基本的四则运算来说明这二者联系。
首先这个全民平均储蓄率s指的是每年的国民总收入通过储蓄变为资本的比例。例如总收入100元，s = 0.1，意味着这些收入中有90元被消费，10元成为资本用于再生产。
国民收入则分成两部分，一部分归资本家，成为资本回报。另一部分归劳工。假设归资本家的比例为alpha。例如，当alpha = 40%，总收入为100元，则资本家总计拿40元，劳工总计拿60元。因为资本家总数比劳工总数少得多，平均到每人，收入也高得多。
不但资本家存钱，劳工也可以存钱。我们已经设了资本家的储蓄率为s_c，现在设工人的储蓄率为s_l。则资本家分到的钱100 * alpha中，存起的部分是 100*alpha*s_c。工人分到的钱为100*(1-alpha)，存起的比例为100*(1-alpha)*s_l。所以存起的总钱数为二者之和，即
100*alpha*s_c + 100*(1-alpha)*s_l
但是按平均储蓄率的定义，存的总钱数是 100 * s，二者必须相等，所以
100 * s = 100 * alpha * s_c + 100 * (1-alpha) * s_l，即
s = alpha * s_c + (1-alpha) * s_l。
现在我们做一个简单的假设，即s_l = 0。也就是说，工人因为贫穷等原因，存不下钱。或许他们年轻工作时有存钱，但年老之后会拿钱养老又消费掉了，一进一出，总储蓄率为0，无钱留给后代。此时，
s = alpha * s_c，或者
s_c = s/alpha。
在原书图表10.8中，同时提供了同一时期（1820-1913）年法国资本回报占收入比alpha的数据。在表10.7中，则有该时期资本净回报r和国民收入增长率g的数据。因此我们有了全部数据来比较r>g积累近100年后，到底会造成怎样的资本收入比扩大，怎样的不平等。在下图中，笔者将1820年的法国资本总量和国民净收入均设为单位1，然后让资本总量按r*s_c的年增速增长，国民收入按g的增速增长，直到1910年。
可以看出，虽然按照原书图10.7， r 约为5%，g约为1%，r比g大得多，但总储蓄率s的值一般不到10%，资本占收入比在30% - 45%中波动，造成 r*s_c并不比g有明显优势。所以从上图看来，经过整整90年，资本增长确实跑赢国民收入增长，但优势仅有20%多。这并不如想象中的惊人。
事情还没完。仔细观察上图后会发现，之所以资本跑赢了收入，完全是因为1870-1890年间收入停滞造成的。我们知道，1871年法国在普法战争中战败，赔款50亿法郎。然后经历了一系列社会动荡。所以这20年的经济停滞其实是这一外来事件的后果，和资本主义经济制度本身无关。但如果不考虑这20年，在剩下的70年间，其实资本增速和国民收入增速高度一致！
对这部分具体数据Piketty本人有何评论呢？在原书355页，他针对这一时期法国的数据评论到，
"Income from capital accounted for nearly 40 percent of national income, and it was enough to save one-quarter of this to generate a savings rate on the order of 10 percent. This was sufficient to allow wealth to grow slightly more rapidly than income, so that the concentration of wealth trended upward"
翻译：资本回报占国民收入的近四成，因此只要（资本家）储存四分之一的收入就能达到（图10.8所示的）平均储存率。这足以让财富（=资本）的增长比国民收入增长略有优势，造成财富的集中。
可以看出，Piketty对资本家储存率s_c和全民平均储存率s的关系理解和笔者一致，这证实了笔者计算的有效性。值得玩味的是他原话中被笔者加黑体的部分-r>g造成不平等急剧增加的描述没有了，换成了"略微"（英文"slightly")。这很可能表明，他做过笔者上面所作的计算，知道会有怎样的结果，所以用词开始退缩和躲闪。当然这些细节一般人很难发现。
总结一下，所谓r>g会造成不平等的急剧上升的说法，因为没有考虑到储存率（再投资率）和国民收入g之间的约束关系，在逻辑上不能成立。而根据Piketty书中提供的数据进行的计算，也证实了这一点。从Piketty在涉及这些细节的论述口气变化来看，他很可能知道这样的缺陷，但不愿声张。
最后，笔者要感谢Piketty教授将如此大量的数据全部制成excel表格打包置于自己主页上。笔者研究此问题时第一次试图下载数据发现大量excel表格损坏，因此专门去信提醒Piketty教授注意。Piketty教授立即修复了文件并回信提示。这种负责的态度令人钦佩。当然，一本如此火爆的畅销书对应的数据包损害，被笔者这样的小人物发现，说明认真研究了数据和此书内容的人并不多。
这两人一位是著名媒体人，目前在美国很火爆的独立媒体VOX创办人Matt Yglesias。这个VOX有些类似国内自媒体"大象工会"，对各类事件进行"深度解释性报导"。Piketty访问美国，受到摇滚歌星般的热烈欢迎，Yglesias阅读全书后，亲自对其进行长篇专访，并在VOX上向读者对此书进行了全面的介绍。可见他对Piketty思想的把握程度。
另一位则是硅谷著名投资人Marc Andreessen。是著名的互联网先驱，网景浏览器的发明者。他在争论时自承并没有读过这本书，只是通过各方评论了解其思想。
Marc Andreessen表示根据自己的投资经验，不能同意Piketty资本回报率会长期稳定在5%水平的看法。他说自己认识的所有投资人，都极为希望世界真如Piketty所描述的那么"美好"，拿到5%长期回报，大大跑赢国民收入增长，真有那么容易。但可惜，从实际投资经验看，难以置信。
而Yglesias认为r>g非常容易证明。他解释道，假设经济停滞，国民收入增长为g=0，此时一位拥有地产可供出租的资本家，资金收益r仍然会大于0，人总得住房子对不对？所以r>g，命题得证！就这么简单！
看上去真的很简单，Marc Andreessen一下子张口结舌，说不出什么反驳。
不过我作为围观者，却觉得这里有个很显然的错误。因为所谓r>g，意思不只是某一件确定的资产拿到的回报会有r（例如5%），而是指这些回报能被进行再投资，导致资产扩大，扩大的资产仍有同样的回报，滚雪球一般不断扩张。
所以经济停滞时现有的地产有再高的租金回报都证明不了什么。Piketty理论所要求的，是这些租金回报重新投资，比如，盖了新的房子，然后再出租，仍能拿到同样的回报，然后再盖新房。。。产业不断扩大。
这时问题来了。因为整体经济停滞，怎么肯定盖了新房还能找到租客入住，且保持较高的租金水平？完全无法保证。而资本家如果意识到这一点，根本不会去费力做再投资的亏本买卖。还不如自己把钱消费掉！
这样看，Yglesias的错误就清楚了，他没有考虑再投资的问题。没有想到资本家要再投资，将回报变成新的资本，不是自然而然和随心所欲的，而是和整体经济状况密切相关。而Marc Andressen虽然没看过此书，但他的直觉是正确的，因为他的职业，正相当于拿资本家的回报去盖新房，找新的租客入住。所以他知道这不容易！
我发推指出了Yglesias的错误所在。令人高兴的是Marc Andressen立即收藏了该推文，表明认同该看法。
所以这直观指出了很多Piketty拥趸的一个关键遗漏，即资本家的再投资率或储蓄率s_c(saving rate)。简而言之，资本家在挣了100块钱后，自己会消费掉多少？会把多少钱省下来进行扩大再生产？这里"储蓄"和"再投资"二词通用，因为从会计学角度看，任何省下的钱均直接自动成为新的资本。假定资本回报保持在r（约等于5%），则资本的扩张速度其实是r*s_c，而不是r。所以应该比较的，不是r和g的大小，而是r*s_c和g的大小！根据上面的例子，s_c和国民收入增长g密切相关。如果经济形势好，g会较高，投资有利可图，s_c自然较高。反之g若很低甚至为0，投资容易亏本，s_c会随之降低。
这么简单的一个常识，Piketty本人是否提到？还真提了。让我们回到原书，审视一下他的原话。
在我购买的英文版351页，Piketty论述到：
'For example, if g=1% and r=5%, saving one-fifth of the income from capital (while consuming the other four-fifths) is enough to ensure that capital inherited from the previous generation grows at the same rate as the economy. If one saves more, because one's fortune is large enough to live well while consuming somewhat less of one's annual rent, then one's fortune will increase more rapidly than the economy, and inequality of wealth will tend to increase even if one contributes no income from labor.'
翻译：例如，假设g=1%, r=5%, 资产继承者（富二代）只需要储蓄（按前面解释，这等于再投资）1/5的资本回报就可以使资本增值速度和国民收入增速一致。但因为他们的富有，他们很容易将更多比例的资本回报用于再投资，结果则会是他们的资本增值率超过经济增长，财富的不平等会随之加剧，即便（富二代）不劳而获。
所以我们清楚了，在Piketty的理论中，富二代等资本持有者进行再投资是随心所欲的，和总体经济状况无关的。无论经济如何，他们均可任意投资并取得同样的回报。这和前面所说的经济停滞新房子也能高价租的出去一样缺乏依据。怪不得投资人Marc Andressen没法被说服。
用点经济学的术语讲，Piketty这里的问题在于其设置了太多的外生独立变量而不考虑他们的相互关系。在他看来，r,g按照历史数字有确定值，然后s_c外生，可以随心所欲的设定。在他的论述中，他没有解释，就算富二代"很容易"省下超过1/5的回报并再投资，他们为何要这么做？他们为何不考虑再投资的风险？
另一方面，Piketty的书中以提供大量数据著称，r和g的历史数值各国的都有。那么他有没有提供资本家的储蓄率（或再投资率）s_c使我们能验证他的理论呢？只有一处有与此有关的数据。在第10章图表10.8中，Piketty提供了法国从1820年至1913年，每10年的全民平均储蓄率s，这个概念和前面说的资本家储蓄率有一定差别，但可以互相换算。下面我们进行一些基本的四则运算来说明这二者联系。
首先这个全民平均储蓄率s指的是每年的国民总收入通过储蓄变为资本的比例。例如总收入100元，s = 0.1，意味着这些收入中有90元被消费，10元成为资本用于再生产。
国民收入则分成两部分，一部分归资本家，成为资本回报。另一部分归劳工。假设归资本家的比例为alpha。例如，当alpha = 40%，总收入为100元，则资本家总计拿40元，劳工总计拿60元。因为资本家总数比劳工总数少得多，平均到每人，收入也高得多。
不但资本家存钱，劳工也可以存钱。我们已经设了资本家的储蓄率为s_c，现在设工人的储蓄率为s_l。则资本家分到的钱100 * alpha中，存起的部分是 100*alpha*s_c。工人分到的钱为100*(1-alpha)，存起的比例为100*(1-alpha)*s_l。所以存起的总钱数为二者之和，即
100*alpha*s_c + 100*(1-alpha)*s_l
但是按平均储蓄率的定义，存的总钱数是 100 * s，二者必须相等，所以
100 * s = 100 * alpha * s_c + 100 * (1-alpha) * s_l，即
s = alpha * s_c + (1-alpha) * s_l。
现在我们做一个简单的假设，即s_l = 0。也就是说，工人因为贫穷等原因，存不下钱。或许他们年轻工作时有存钱，但年老之后会拿钱养老又消费掉了，一进一出，总储蓄率为0，无钱留给后代。此时，
s = alpha * s_c，或者
s_c = s/alpha。
在原书图表10.8中，同时提供了同一时期（1820-1913）年法国资本回报占收入比alpha的数据。在表10.7中，则有该时期资本净回报r和国民收入增长率g的数据。因此我们有了全部数据来比较r>g积累近100年后，到底会造成怎样的资本收入比扩大，怎样的不平等。在下图中，笔者将1820年的法国资本总量和国民净收入均设为单位1，然后让资本总量按r*s_c的年增速增长，国民收入按g的增速增长，直到1910年。
可以看出，虽然按照原书图10.7， r 约为5%，g约为1%，r比g大得多，但总储蓄率s的值一般不到10%，资本占收入比在30% - 45%中波动，造成 r*s_c并不比g有明显优势。所以从上图看来，经过整整90年，资本增长确实跑赢国民收入增长，但优势仅有20%多。这并不如想象中的惊人。
事情还没完。仔细观察上图后会发现，之所以资本跑赢了收入，完全是因为1870-1890年间收入停滞造成的。我们知道，1871年法国在普法战争中战败，赔款50亿法郎。然后经历了一系列社会动荡。所以这20年的经济停滞其实是这一外来事件的后果，和资本主义经济制度本身无关。但如果不考虑这20年，在剩下的70年间，其实资本增速和国民收入增速高度一致！
对这部分具体数据Piketty本人有何评论呢？在原书355页，他针对这一时期法国的数据评论到，
"Income from capital accounted for nearly 40 percent of national income, and it was enough to save one-quarter of this to generate a savings rate on the order of 10 percent. This was sufficient to allow wealth to grow slightly more rapidly than income, so that the concentration of wealth trended upward"
翻译：资本回报占国民收入的近四成，因此只要（资本家）储存四分之一的收入就能达到（图10.8所示的）平均储存率。这足以让财富（=资本）的增长比国民收入增长略有优势，造成财富的集中。
可以看出，Piketty对资本家储存率s_c和全民平均储存率s的关系理解和笔者一致，这证实了笔者计算的有效性。值得玩味的是他原话中被笔者加黑体的部分-r>g造成不平等急剧增加的描述没有了，换成了"略微"（英文"slightly")。这很可能表明，他做过笔者上面所作的计算，知道会有怎样的结果，所以用词开始退缩和躲闪。当然这些细节一般人很难发现。
总结一下，所谓r>g会造成不平等的急剧上升的说法，因为没有考虑到储存率（再投资率）和国民收入g之间的约束关系，在逻辑上不能成立。而根据Piketty书中提供的数据进行的计算，也证实了这一点。从Piketty在涉及这些细节的论述口气变化来看，他很可能知道这样的缺陷，但不愿声张。
最后，笔者要感谢Piketty教授将如此大量的数据全部制成excel表格打包置于自己主页上。笔者研究此问题时第一次试图下载数据发现大量excel表格损坏，因此专门去信提醒Piketty教授注意。Piketty教授立即修复了文件并回信提示。这种负责的态度令人钦佩。当然，一本如此火爆的畅销书对应的数据包损害，被笔者这样的小人物发现，说明认真研究了数据和此书内容的人并不多。
三、"替代弹性"科普
这一次先科普点基础知识。
上次的资本论批评已经说明了，所谓r>g导致资本恶性增长的"资本主义基本矛盾"并不存在。其实关于r>g的问题还有很多可说的，但我们暂且先搁置该问题的其他方面，而是集中精力审视和经济不平等密切相关的另一个重要的技术问题-替代弹性，搞清Piketty在对这一概念的使用中，到底有什么问题。
这是个看起来很专门，很高级的经济学概念。但其实只是对我们日常接触的，很容易理解的一些经济学现象的理论包装。本来，学者在面对公众讲解问题时，不该使用过多学术性专业概念。但在这次的争论中，专业名词一再出现。比如在最近何帆对21世纪资本论的赞扬性评论中，就又提到了替代弹性。这种做法的问题是，容易给公众一个印象：既然你没法理解这些学术概念，那你就缺乏思考和质疑有关结论的能力和资格，因此最好接受我们专家的意见。
因此，笔者作为不同意有关结论的反驳者，只能专门辟出一节，先对这一经济学概念进行科普。争取让读者有机会把握其精髓。已经熟悉这一概念的朋友可以跳过。
这具体是啥呢？和经济不平等又有何关系？让我们从Piketty原书的论述说起。
前面我们讲过，Piketty认为，资本总量会按回报率r增长，国民总收入会按g增长，因为r>g，所以会造成相对国民收入的资本总量恶性增长。这个论述的问题，不仅在于没考虑资本家的储蓄/再投资率s_c，还在于，资本总量，那是个总存量的概念，而国民收入，是个流量概念。拿存量和某时间段的流量相比，多少有点莫名其妙。更加合适的做法，应该是把每年的国民收入拿出来具体考察，看看其中归于资本家的是多少，归于劳工的又是多少，这个比例又如何变化。
为了论述方便，我们假定经济体内的总人口不增长，劳工供应总量不变。按照Piketty的说法，随着不断扩大再生产，资本总量供应会越来越多。但我们都知道，资本主义社会是个竞争性市场，各种资源定价由供求关系决定。如果资本总量供应越来越多，单位资本的回报也会随之下降。
比如资本是房产，回报是租金。可供出租的房子多了，而人口没增加，租金只能下调。又比如资本是机器，回报是产品利润，机器多了，生产的产品多，价格也会降低。
另一方面，对劳动力来说，如果供应总量不变，但资本在增多，则劳动力会相对稀缺。因此工资会抬高。
这都是常识。
但这时问题出来了，在资本（机器，房产）增多的情况下，资本家获得的资本回报总额和劳工获得的工资回报总额的比例，如何变化？
这个问题就难判断得多。每个劳工工资提高，所有劳工的总收入肯定提高。但资本方面呢？单位资本回报降低，但资本总量又在增加，两个数乘起来，总回报可增可减，和劳工阶层的总工资收入的比例也可增可减，还有可能不变。
替代弹性的概念就是描述这问题的。
如果资本总量增加引发的一系列变化后，资方总回报和劳工总工资比例保持不变，则替代弹性等于1。如果资方总回报的增长比例超过了劳工总工资的增长比例，则替代弹性大于1。如果资方总回报的增长比例落后于劳工总工资的增长比例，则替代弹性小于1。
举个例子。某个工厂，原有100台机器，雇了100名工人。每台机器每天生产100件商品，每件商品售价2元，但所需要的原材料价格为1元。而工人每天工资是60元。
因此，每件商品销售获得的利润为1元。这也是该工厂生产所创造的附加值--产品价格和原材料价格的差值。
对该工厂来说，每天总产量为100×100=10000件商品，销售总利润是10000元。给工人发放工资总量为60×100 = 6000元。剩下的是资本家的回报=10000-6000=4000元。该厂资本家总回报和工人总工资比例为4000/6000 = 66.7%。
然后工厂主觉得利润不错，决定再购入10台机器，扩大生产。这时总机器数量变为100+10 = 110台，增加10%。工人还是那么多。每个工人干的活多了，所以工厂主为防止工人跳槽，不得不加工资，假定每人每天多给两块钱，工资变为60+2=62元。
所以这时工人总工资增加到62×100=6200元。因为工资提高，工人没有跳槽，因为机器增多，每天产量增加为110×100=11000，即比原先增加一成。问题来了，现在每件商品利润多少？还是一元？
肯定得有所降低。因为不仅这一家工厂会扩大生产，所有的工厂都会有类似的策略。所以全社会该商品总供应增多，价格和利润不得不降低。但利润具体降低多少，很难判断，和各种复杂的经济，市场状况有关。我们先假定一个数值，看看会发生什么。
假定每件商品的利润从1元降低到九毛四，即0.94元。
此时，销售11000件商品的总利润，不再是11000元，而是 11000×0.94 = 10340元。发工资后，还剩下
10340-6200 = 4140元，归资本家。这时资本家总回报和劳工总收入比值是4140/6200 = 67%，和以前保持不变！
也就是说，资本家决定扩大再生产10%后，虽然他的回报增加4000 -> 4140，但劳工总收入也增加 6000->6200，二者增加比例一样，资本家在收入分成方面没有占到更大优势。
按照我们前面的说法，用经济学专业术语来讲，此时替代弹性为1。也就是说，资本家总获利增长的比例，和劳工总工资增长的比例相同。
但是，难道那个九毛四的利润不是我们自己设的吗？如果扩大再生产后，每件商品的获利高于九毛四，则资本家总回报会超过4140元。比如，我们假定每件商品获利为九毛五，则通过同样的计算，资本家总回报增长为4250元。这时工人总工资仍然为6200元，所以资方回报和劳方总工资比例为 4250/6200 = 68.5%。高于刚才计算的67%。也就是说，资方在收入分成中占了优势。前面说过，这种情况下的替代弹性大于1，具体该怎么计算？
为计算替代弹性，我们换个角度考虑问题。
1. 首先，扩大生产后机器总量增多，劳工不变。所以要知道资方总回报与劳工总工资比例的变化，可以先计算机器（资本）总量与劳工总量比例的变化。工厂里原有工人100人，机器100台。所以机器与人比例为100/100=1。
扩大生产以后，工人总数不变，但机器总数变为110台，机器与人的比例为110/100 = 1.1。
所以，机器与人的比例，扩大生产后是扩大生产前的 1.1/1 = 110%。
2. 然后，扩大生产后，劳工工资提高，每台机器生产的商品总数不变，但利润降低，这说明相对单个劳工的工资，每台机器从其为资本家获利的角度看，变得"不值钱"了。这种"不值钱"，会抵消机器总量增加的效应。所以第二步再计算每台机器为资本家带来的回报，与每个劳工获得的工资的比例变化。
前面的例子，扩大生产前，每天每个工人工资60元，资本家总回报为4000元，平均到每台机器，为4000/100=40元。所以每台机器为资本家赚的利润，与单个工人的工资比例为40/60 = 0.67。
扩大生产后，工人每天工资变为62元，资本家总回报增长为4250元，但机器总数为110台，所以每台机器为资本家产生的回报降为4250/110=37.64元，与工人工资比例更加降为38.64/62=0.623。
所以，每台机器为资本家带来的回报，与每个工人工资的比例，扩大生产后是扩大生产前的0.623/0.67=93.48%。
很明显，1和2中的两个比例，代表了两种互相抵消的不同效应。他们的乘积，正是劳资双方在总获利中分成的比例变化。事实上，这二者乘积为
110%×93.48%=1.028。或者说，资方与劳方分成比例，扩大生产后比扩大生产前，增加了2.8%。这正和前面计算结果一致。因为先前我们的计算是，扩大生产前，资方总分成是劳方的66.7%，之后升为68.5%，增加量正是（68.5-66.7）/66.7 = 2.8%。
这事情和"替代弹性"有何关系？特别是，从哪里体现出来了"替代"？经济学上，可以将前面2中提到的资本（机器）的相对（于劳工工资）"不值钱"，看成1中提到的资本总量的上升（相对劳工人数）的原因。也就是说，资本的相对低价，造成了资本对劳工的"替代"，资本家宁愿多使用资本少使用员工。如果替代弹性高，则少量的资本降价就会导致较多的劳工被资本替代，反之，替代弹性低，则意味着较多的资本降价也只带来较低比例的劳工被资本替代。因此，资本降价时，高替代弹性对劳工不利，低替代弹性对劳工有利。
拿前面的例子来说，商品利润下降代表着资本更"不值钱"，这和房屋租金下降代表房子本身不值钱一个道理。如果替代弹性为1，则商品利润降到九毛四，造成的后果是工人总数虽保持为100，但机器总量增加至110，但按扩大生产前的比例计算，此时"本该"有工人110人。也就是说，10个工人被替代。
而在后面替代弹性大于1的情况，商品利润仅下降到九毛五，就造成了同样的机器总量增加，即10名工人被替代的情况！
那么替代弹性的值到底怎么算呢？是前面1和2中计算出的两个比例，先取自然对数，再求比例，然后取相反数。即
e = -ln(110%)/ln(93.48%)=1.41。
这里涉及到一些数学，笔者不再解释，基本能理解前面所说的"替代"之含义即可。
再考虑一种情况。反过来说，如果扩大再生产后产品利润下降比较大，例如，降为九毛三，情况又会如何？这时，产品总利润变为11000×0.93 = 10230元，给工人发工资6200元后，资方利润仅剩4030元。所以资方总回报和劳方总工资比例降为4030/6200 = 65%。比起扩大生产前的67%，劳方占了优势。
这时的替代情况如何？很明显，资本利润需要降到九毛三，才导致10名工人被替代。说明替代强度较低，替代弹性小于1。按前面同样的计算方式，得到的替代弹性值为0.79。
真实世界的替代弹性是多少呢？学过宏观经济学的都知道，美国经济学家，前参议员Paul Douglas早在1927年就发现，无论经济规模如何扩大，美国国民收入中，劳工部分占比长期稳定于70%。根据我们前面的说明，这表明，替代弹性的数值就是1，因为不断的扩大再生产，没有造成劳资双方中任何一方的优势。
为解释这个现象，Douglas和另外一位数学家Charles Cobb合作，提出了著名的Cobb - Douglas生产函数。这成为宏观经济学的标准模型。
但是，近年来，有研究指出，随着经济的发展，世界各国出现了劳工收入占比滑坡的现象。把具体数据代入一些模型经过测算发现，对应的的替代弹性数值大于1，很可能达到1.2。这说明，可能劳工在利润中的分成随着生产的扩大发生了减少。这样的结果，为"收入不平等"提供了一些理论依据。
上次的资本论批评已经说明了，所谓r>g导致资本恶性增长的"资本主义基本矛盾"并不存在。其实关于r>g的问题还有很多可说的，但我们暂且先搁置该问题的其他方面，而是集中精力审视和经济不平等密切相关的另一个重要的技术问题-替代弹性，搞清Piketty在对这一概念的使用中，到底有什么问题。
这是个看起来很专门，很高级的经济学概念。但其实只是对我们日常接触的，很容易理解的一些经济学现象的理论包装。本来，学者在面对公众讲解问题时，不该使用过多学术性专业概念。但在这次的争论中，专业名词一再出现。比如在最近何帆对21世纪资本论的赞扬性评论中，就又提到了替代弹性。这种做法的问题是，容易给公众一个印象：既然你没法理解这些学术概念，那你就缺乏思考和质疑有关结论的能力和资格，因此最好接受我们专家的意见。
因此，笔者作为不同意有关结论的反驳者，只能专门辟出一节，先对这一经济学概念进行科普。争取让读者有机会把握其精髓。已经熟悉这一概念的朋友可以跳过。
这具体是啥呢？和经济不平等又有何关系？让我们从Piketty原书的论述说起。
前面我们讲过，Piketty认为，资本总量会按回报率r增长，国民总收入会按g增长，因为r>g，所以会造成相对国民收入的资本总量恶性增长。这个论述的问题，不仅在于没考虑资本家的储蓄/再投资率s_c，还在于，资本总量，那是个总存量的概念，而国民收入，是个流量概念。拿存量和某时间段的流量相比，多少有点莫名其妙。更加合适的做法，应该是把每年的国民收入拿出来具体考察，看看其中归于资本家的是多少，归于劳工的又是多少，这个比例又如何变化。
为了论述方便，我们假定经济体内的总人口不增长，劳工供应总量不变。按照Piketty的说法，随着不断扩大再生产，资本总量供应会越来越多。但我们都知道，资本主义社会是个竞争性市场，各种资源定价由供求关系决定。如果资本总量供应越来越多，单位资本的回报也会随之下降。
比如资本是房产，回报是租金。可供出租的房子多了，而人口没增加，租金只能下调。又比如资本是机器，回报是产品利润，机器多了，生产的产品多，价格也会降低。
另一方面，对劳动力来说，如果供应总量不变，但资本在增多，则劳动力会相对稀缺。因此工资会抬高。
这都是常识。
但这时问题出来了，在资本（机器，房产）增多的情况下，资本家获得的资本回报总额和劳工获得的工资回报总额的比例，如何变化？
这个问题就难判断得多。每个劳工工资提高，所有劳工的总收入肯定提高。但资本方面呢？单位资本回报降低，但资本总量又在增加，两个数乘起来，总回报可增可减，和劳工阶层的总工资收入的比例也可增可减，还有可能不变。
替代弹性的概念就是描述这问题的。
如果资本总量增加引发的一系列变化后，资方总回报和劳工总工资比例保持不变，则替代弹性等于1。如果资方总回报的增长比例超过了劳工总工资的增长比例，则替代弹性大于1。如果资方总回报的增长比例落后于劳工总工资的增长比例，则替代弹性小于1。
举个例子。某个工厂，原有100台机器，雇了100名工人。每台机器每天生产100件商品，每件商品售价2元，但所需要的原材料价格为1元。而工人每天工资是60元。
因此，每件商品销售获得的利润为1元。这也是该工厂生产所创造的附加值--产品价格和原材料价格的差值。
对该工厂来说，每天总产量为100×100=10000件商品，销售总利润是10000元。给工人发放工资总量为60×100 = 6000元。剩下的是资本家的回报=10000-6000=4000元。该厂资本家总回报和工人总工资比例为4000/6000 = 66.7%。
然后工厂主觉得利润不错，决定再购入10台机器，扩大生产。这时总机器数量变为100+10 = 110台，增加10%。工人还是那么多。每个工人干的活多了，所以工厂主为防止工人跳槽，不得不加工资，假定每人每天多给两块钱，工资变为60+2=62元。
所以这时工人总工资增加到62×100=6200元。因为工资提高，工人没有跳槽，因为机器增多，每天产量增加为110×100=11000，即比原先增加一成。问题来了，现在每件商品利润多少？还是一元？
肯定得有所降低。因为不仅这一家工厂会扩大生产，所有的工厂都会有类似的策略。所以全社会该商品总供应增多，价格和利润不得不降低。但利润具体降低多少，很难判断，和各种复杂的经济，市场状况有关。我们先假定一个数值，看看会发生什么。
假定每件商品的利润从1元降低到九毛四，即0.94元。
此时，销售11000件商品的总利润，不再是11000元，而是 11000×0.94 = 10340元。发工资后，还剩下
10340-6200 = 4140元，归资本家。这时资本家总回报和劳工总收入比值是4140/6200 = 67%，和以前保持不变！
也就是说，资本家决定扩大再生产10%后，虽然他的回报增加4000 -> 4140，但劳工总收入也增加 6000->6200，二者增加比例一样，资本家在收入分成方面没有占到更大优势。
按照我们前面的说法，用经济学专业术语来讲，此时替代弹性为1。也就是说，资本家总获利增长的比例，和劳工总工资增长的比例相同。
但是，难道那个九毛四的利润不是我们自己设的吗？如果扩大再生产后，每件商品的获利高于九毛四，则资本家总回报会超过4140元。比如，我们假定每件商品获利为九毛五，则通过同样的计算，资本家总回报增长为4250元。这时工人总工资仍然为6200元，所以资方回报和劳方总工资比例为 4250/6200 = 68.5%。高于刚才计算的67%。也就是说，资方在收入分成中占了优势。前面说过，这种情况下的替代弹性大于1，具体该怎么计算？
为计算替代弹性，我们换个角度考虑问题。
1. 首先，扩大生产后机器总量增多，劳工不变。所以要知道资方总回报与劳工总工资比例的变化，可以先计算机器（资本）总量与劳工总量比例的变化。工厂里原有工人100人，机器100台。所以机器与人比例为100/100=1。
扩大生产以后，工人总数不变，但机器总数变为110台，机器与人的比例为110/100 = 1.1。
所以，机器与人的比例，扩大生产后是扩大生产前的 1.1/1 = 110%。
2. 然后，扩大生产后，劳工工资提高，每台机器生产的商品总数不变，但利润降低，这说明相对单个劳工的工资，每台机器从其为资本家获利的角度看，变得"不值钱"了。这种"不值钱"，会抵消机器总量增加的效应。所以第二步再计算每台机器为资本家带来的回报，与每个劳工获得的工资的比例变化。
前面的例子，扩大生产前，每天每个工人工资60元，资本家总回报为4000元，平均到每台机器，为4000/100=40元。所以每台机器为资本家赚的利润，与单个工人的工资比例为40/60 = 0.67。
扩大生产后，工人每天工资变为62元，资本家总回报增长为4250元，但机器总数为110台，所以每台机器为资本家产生的回报降为4250/110=37.64元，与工人工资比例更加降为38.64/62=0.623。
所以，每台机器为资本家带来的回报，与每个工人工资的比例，扩大生产后是扩大生产前的0.623/0.67=93.48%。
很明显，1和2中的两个比例，代表了两种互相抵消的不同效应。他们的乘积，正是劳资双方在总获利中分成的比例变化。事实上，这二者乘积为
110%×93.48%=1.028。或者说，资方与劳方分成比例，扩大生产后比扩大生产前，增加了2.8%。这正和前面计算结果一致。因为先前我们的计算是，扩大生产前，资方总分成是劳方的66.7%，之后升为68.5%，增加量正是（68.5-66.7）/66.7 = 2.8%。
这事情和"替代弹性"有何关系？特别是，从哪里体现出来了"替代"？经济学上，可以将前面2中提到的资本（机器）的相对（于劳工工资）"不值钱"，看成1中提到的资本总量的上升（相对劳工人数）的原因。也就是说，资本的相对低价，造成了资本对劳工的"替代"，资本家宁愿多使用资本少使用员工。如果替代弹性高，则少量的资本降价就会导致较多的劳工被资本替代，反之，替代弹性低，则意味着较多的资本降价也只带来较低比例的劳工被资本替代。因此，资本降价时，高替代弹性对劳工不利，低替代弹性对劳工有利。
拿前面的例子来说，商品利润下降代表着资本更"不值钱"，这和房屋租金下降代表房子本身不值钱一个道理。如果替代弹性为1，则商品利润降到九毛四，造成的后果是工人总数虽保持为100，但机器总量增加至110，但按扩大生产前的比例计算，此时"本该"有工人110人。也就是说，10个工人被替代。
而在后面替代弹性大于1的情况，商品利润仅下降到九毛五，就造成了同样的机器总量增加，即10名工人被替代的情况！
那么替代弹性的值到底怎么算呢？是前面1和2中计算出的两个比例，先取自然对数，再求比例，然后取相反数。即
e = -ln(110%)/ln(93.48%)=1.41。
这里涉及到一些数学，笔者不再解释，基本能理解前面所说的"替代"之含义即可。
再考虑一种情况。反过来说，如果扩大再生产后产品利润下降比较大，例如，降为九毛三，情况又会如何？这时，产品总利润变为11000×0.93 = 10230元，给工人发工资6200元后，资方利润仅剩4030元。所以资方总回报和劳方总工资比例降为4030/6200 = 65%。比起扩大生产前的67%，劳方占了优势。
这时的替代情况如何？很明显，资本利润需要降到九毛三，才导致10名工人被替代。说明替代强度较低，替代弹性小于1。按前面同样的计算方式，得到的替代弹性值为0.79。
真实世界的替代弹性是多少呢？学过宏观经济学的都知道，美国经济学家，前参议员Paul Douglas早在1927年就发现，无论经济规模如何扩大，美国国民收入中，劳工部分占比长期稳定于70%。根据我们前面的说明，这表明，替代弹性的数值就是1，因为不断的扩大再生产，没有造成劳资双方中任何一方的优势。
为解释这个现象，Douglas和另外一位数学家Charles Cobb合作，提出了著名的Cobb - Douglas生产函数。这成为宏观经济学的标准模型。
但是，近年来，有研究指出，随着经济的发展，世界各国出现了劳工收入占比滑坡的现象。把具体数据代入一些模型经过测算发现，对应的的替代弹性数值大于1，很可能达到1.2。这说明，可能劳工在利润中的分成随着生产的扩大发生了减少。这样的结果，为"收入不平等"提供了一些理论依据。
四、替代弹性的毛利与净利之辨
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上一部分科普了替代弹性的概念。我们提到，替代弹性和收入不平等的关系在于，替代弹性的大小，代表了在资本回报率降低情况下，资方和劳方总收入比值的变化。在标准的Cobb-Douglas劳动生产率模型下，替代弹性等于1，此时虽然生产规模不断扩大，资本占有的国民总收入却能保持稳定——而这差不多正是美国多年来的情况。
Piketty所担心的，是随着不断的扩大再生产，资本主义面临资本总量不断上升，资本回报与劳工回报差距拉大问题。但如果Cobb-Douglas模型成立，资本总量的上升与资本回报率的变小正好抵消。不过，Piketty认为，Cobb-Douglas模型过于简化。长期来看，并不严格成立。至少二十世纪八，九十年代以来，真实的替代弹性数据大于1，即随着资本总量的增加，资方在总产出中的分成会越来越大。
原书划出专门章节讨论该问题。如219页有一章标题就叫：Capital-Labor Substitution in the Twenty-First Century: An Elasticity Greater Than One（21世纪的资本-劳工替代：替代弹性大于1）。经济学界对此问题有不少专门的研究。比如，2014年两位经济学家Karabarbounis和Neiman的论文建立模型计算近二十年多国的历史数据表明，替代弹性的数值可能达到1.25。该结果被Piketty近期相关论文中引用作为证据。
看起来大于1的替代弹性已经没有疑问了。Piketty的论述要点在于，这揭示资本主义经济制度的内在机制，所以近来一段时间数据观察到的不平等不是偶然或暂时现象（这些数据的问题我们后面会加以讨论），而必将因该机制而在将来愈演愈烈——除非采取有效政策遏制资本。
但是，这里存在一个很微妙，看起来无关紧要的技术问题：替代弹性标准定义中所说的资本回报，指的是"毛利"，但Piketty在讨论资本回报时，使用的是"净回报"或"净利"。这两者并不一样，区别在于总回报或毛利要减去资本消耗减值才等于净利。首先发现该问题的是经济学家Matt Rognlie。
拿上一节的例子来说。工厂每台机器，每天生产的商品出售获得利润100元，资本家付给工人工资60元后，剩下的40元成为资本回报。但这个回报属于"总回报"或"毛利"的概念，因为还有一部分费用没有扣除——机器本身的折旧。机器运行会带来自身的损耗，价值下降，旧机器没有新机器值钱。假设机器每天折旧损失的价值是20元，则最终资本家能拿回家的钱只有40-20 = 20元。这才是Piketty所说的净回报。
为什么说Piketty的替代弹性，是按净回报定义的呢？因为他的回报，必须能够用来进一步投资扩大再生产。显然补偿折旧的钱就谈不上能使生产规模扩大，只能防止生产规模不因机器损坏减小而已。
这么细节的一个区别能造成什么不同？会造成Piketty的替代弹性，比正常定义的数值来的小。原因很简单：同样的利润下降，所造成的净回报下降的比例高于总回报下降的比例。
再说前面的例子。发完劳工工资后，每台机器为资本家获利40元，但因折旧减值20元。
考虑资本家工厂扩大再生产之后的情况。假定因为供应量增加，每件商品利润从1元降低至九毛五分。则按照上节的计算，每台机器为资本家获利仅为38.64元。获利下降。然后，关键点来了——机器的折旧减值会怎么样？也会下降吗？很明显不会！机器仍因折旧减值20元！原因很简单，商品利润下降完全是供求关系变化导致，机器减值则由磨损等物理原因导致，二者没有关系。机器的磨损不会因为生产的商品卖不出去而自动减少。
所以每台机器总回报，从40元降至38.4元，下降比例为(40-38.4)/40=4%。
但除去机器减值的净回报，则从40-20=20元降至38.4-20=18.4元，下降比例为(20-18.4)/20=8%，比总回报下降比例高一倍！
这如何影响替代弹性？按照前面说的，资本总量增加，产品利润降低情况下，替代弹性为1表示最终资本所得和劳工所得比例不变，替代弹性大于1表示比例变大，替代弹性小于1表示比例变小。
所以，如果真实世界满足按毛利定义的替代弹性等于1的情况，即随着生产的扩大，资本家总回报和劳工总工资比例不变。这时，虽然单位商品的毛利有下降，但卖出的商品多了，总毛利还是增加，且增加的速度正好赶上工人工资总量的增加速度。但，按净利看怎么样？每件商品净利下降比率比毛利下降程度比率要大，所以总净利就算有所增长，增速也已赶不上工人总工资增速。也就是说，此时如果计算按Piketty的净利替代弹性，值只能小于1。
数值上这二者具体差别涉及一些微分计算。按前面例子，首先要知道资本净回报和资本减值率的具体数值。我们净回报采用Piketty的数值5%，目前美国的资本减值率也约为每年5%，两者大致相等，这种情况下，像前面例子里计算的一样（例子里的数值也是净回报等于减值），随着生产规模的扩大，单位商品净利下降的比率是毛利的2倍。所以Matt Rognlie认为按照净利计算出的替代弹性只有按毛利（传统定义）计算结果的1/2。但仔细检查他的算法后发现，他并没有考虑到劳工工资变化问题。因为在替代弹性定义中使用的是相对回报（即资本回报与劳工工资的比例），相对回报的变化有一部分是劳工工资增加贡献，这部分的变化和使用净利还是毛利无关，所以使用净利计算的替代弹性和标准定义差距没那么大。具体差距和当前资本毛利和工人总工资比例有关。按美国的情况，净利替代弹性约是标准替代弹性的1/1.7（约等于60%）。所以这二者差距颇为可观。
问题来了。Piketty理论所要求的是按净利替代弹性大于1，这等于按毛利计算的替代弹性大于1.7！所以他理论的要求，比传统的标准模型（毛利替代弹性为1）的偏差比看上去大得多。然后，他引用来支持自己结论的研究不再有效。比如，Karabarbounis和Neiman (2014)文章中的计算结果为毛利替代弹性为1.25，换算成Piketty的净利替代弹性，仅为0.74，和1有较大距离。事实上，在已有的研究中，并没有任何模型能够支持高达1.7的毛利替代弹性。
萨默斯在其发表的重量级评论中，提出的Piketty书中技术失误有两个，一个是之前我们评论过的储存率问题，一个就是本节介绍的替代弹性计算中毛利/净利混淆问题。
上一部分科普了替代弹性的概念。我们提到，替代弹性和收入不平等的关系在于，替代弹性的大小，代表了在资本回报率降低情况下，资方和劳方总收入比值的变化。在标准的Cobb-Douglas劳动生产率模型下，替代弹性等于1，此时虽然生产规模不断扩大，资本占有的国民总收入却能保持稳定——而这差不多正是美国多年来的情况。
Piketty所担心的，是随着不断的扩大再生产，资本主义面临资本总量不断上升，资本回报与劳工回报差距拉大问题。但如果Cobb-Douglas模型成立，资本总量的上升与资本回报率的变小正好抵消。不过，Piketty认为，Cobb-Douglas模型过于简化。长期来看，并不严格成立。至少二十世纪八，九十年代以来，真实的替代弹性数据大于1，即随着资本总量的增加，资方在总产出中的分成会越来越大。
原书划出专门章节讨论该问题。如219页有一章标题就叫：Capital-Labor Substitution in the Twenty-First Century: An Elasticity Greater Than One（21世纪的资本-劳工替代：替代弹性大于1）。经济学界对此问题有不少专门的研究。比如，2014年两位经济学家Karabarbounis和Neiman的论文建立模型计算近二十年多国的历史数据表明，替代弹性的数值可能达到1.25。该结果被Piketty近期相关论文中引用作为证据。
看起来大于1的替代弹性已经没有疑问了。Piketty的论述要点在于，这揭示资本主义经济制度的内在机制，所以近来一段时间数据观察到的不平等不是偶然或暂时现象（这些数据的问题我们后面会加以讨论），而必将因该机制而在将来愈演愈烈——除非采取有效政策遏制资本。
但是，这里存在一个很微妙，看起来无关紧要的技术问题：替代弹性标准定义中所说的资本回报，指的是"毛利"，但Piketty在讨论资本回报时，使用的是"净回报"或"净利"。这两者并不一样，区别在于总回报或毛利要减去资本消耗减值才等于净利。首先发现该问题的是经济学家Matt Rognlie。
拿上一节的例子来说。工厂每台机器，每天生产的商品出售获得利润100元，资本家付给工人工资60元后，剩下的40元成为资本回报。但这个回报属于"总回报"或"毛利"的概念，因为还有一部分费用没有扣除——机器本身的折旧。机器运行会带来自身的损耗，价值下降，旧机器没有新机器值钱。假设机器每天折旧损失的价值是20元，则最终资本家能拿回家的钱只有40-20 = 20元。这才是Piketty所说的净回报。
为什么说Piketty的替代弹性，是按净回报定义的呢？因为他的回报，必须能够用来进一步投资扩大再生产。显然补偿折旧的钱就谈不上能使生产规模扩大，只能防止生产规模不因机器损坏减小而已。
这么细节的一个区别能造成什么不同？会造成Piketty的替代弹性，比正常定义的数值来的小。原因很简单：同样的利润下降，所造成的净回报下降的比例高于总回报下降的比例。
再说前面的例子。发完劳工工资后，每台机器为资本家获利40元，但因折旧减值20元。
考虑资本家工厂扩大再生产之后的情况。假定因为供应量增加，每件商品利润从1元降低至九毛五分。则按照上节的计算，每台机器为资本家获利仅为38.64元。获利下降。然后，关键点来了——机器的折旧减值会怎么样？也会下降吗？很明显不会！机器仍因折旧减值20元！原因很简单，商品利润下降完全是供求关系变化导致，机器减值则由磨损等物理原因导致，二者没有关系。机器的磨损不会因为生产的商品卖不出去而自动减少。
所以每台机器总回报，从40元降至38.4元，下降比例为(40-38.4)/40=4%。
但除去机器减值的净回报，则从40-20=20元降至38.4-20=18.4元，下降比例为(20-18.4)/20=8%，比总回报下降比例高一倍！
这如何影响替代弹性？按照前面说的，资本总量增加，产品利润降低情况下，替代弹性为1表示最终资本所得和劳工所得比例不变，替代弹性大于1表示比例变大，替代弹性小于1表示比例变小。
所以，如果真实世界满足按毛利定义的替代弹性等于1的情况，即随着生产的扩大，资本家总回报和劳工总工资比例不变。这时，虽然单位商品的毛利有下降，但卖出的商品多了，总毛利还是增加，且增加的速度正好赶上工人工资总量的增加速度。但，按净利看怎么样？每件商品净利下降比率比毛利下降程度比率要大，所以总净利就算有所增长，增速也已赶不上工人总工资增速。也就是说，此时如果计算按Piketty的净利替代弹性，值只能小于1。
数值上这二者具体差别涉及一些微分计算。按前面例子，首先要知道资本净回报和资本减值率的具体数值。我们净回报采用Piketty的数值5%，目前美国的资本减值率也约为每年5%，两者大致相等，这种情况下，像前面例子里计算的一样（例子里的数值也是净回报等于减值），随着生产规模的扩大，单位商品净利下降的比率是毛利的2倍。所以Matt Rognlie认为按照净利计算出的替代弹性只有按毛利（传统定义）计算结果的1/2。但仔细检查他的算法后发现，他并没有考虑到劳工工资变化问题。因为在替代弹性定义中使用的是相对回报（即资本回报与劳工工资的比例），相对回报的变化有一部分是劳工工资增加贡献，这部分的变化和使用净利还是毛利无关，所以使用净利计算的替代弹性和标准定义差距没那么大。具体差距和当前资本毛利和工人总工资比例有关。按美国的情况，净利替代弹性约是标准替代弹性的1/1.7（约等于60%）。所以这二者差距颇为可观。
问题来了。Piketty理论所要求的是按净利替代弹性大于1，这等于按毛利计算的替代弹性大于1.7！所以他理论的要求，比传统的标准模型（毛利替代弹性为1）的偏差比看上去大得多。然后，他引用来支持自己结论的研究不再有效。比如，Karabarbounis和Neiman (2014)文章中的计算结果为毛利替代弹性为1.25，换算成Piketty的净利替代弹性，仅为0.74，和1有较大距离。事实上，在已有的研究中，并没有任何模型能够支持高达1.7的毛利替代弹性。
萨默斯在其发表的重量级评论中，提出的Piketty书中技术失误有两个，一个是之前我们评论过的储存率问题，一个就是本节介绍的替代弹性计算中毛利/净利混淆问题。
五、"不平等基本悖论"
我们知道，法国经济学家Thomas Piketty所著《21世纪资本论》一书提出了"资本主义基本矛盾"的核心概念，认为资本主义的内在逻辑必然导致经济不平等的不断扩大。而本系列前面几部分已经详细讨论了Piketty在理论论述方面的问题——他并未从经济学理论上证明这种矛盾的存在性。
但是疑问仍然没有消除。难道Piketty不是搜集了海量历史数据证明收入差距确实在不断扩大？而我们平时也经常听到各种有关亿万富翁财富的新闻。例如美国的苹果，谷歌，facebook，中国的阿里巴巴等巨型公司管理层的个人财富总量均已达到普通人无法想象的天文数字。所以，不管未来如何，巨量的社会不平等岂非已经产生并且亟待纠正？
现在已经有很多经济学家对Piketty的数据部分提出各种合理批判，指出他对历史趋势的判断并不如看上去那么可靠。
但是核心问题还不在这里。而在于，资本主义自由市场经济中的这种"收入不平等"，其实很大程度上，只是没有实际含义的"数字游戏"。这样的说法听起来惊人，但实为很容易理解的逻辑必然。首先，收入不平等，本身的确是货币意义上一个数字的概念。我们之所以关心这个数字，在于货币作为一般等价物，通过消费，确实直接影响到我们的生活品质。钱多的人购买力强，生活品质就高，反之亦然。固定某个时间段（例如当前，去年，1990年等等）来看，生活品质很大程度被拥有货币数量决定。例如月收入5000的生活品质不如收入一万的，更不如两万的，等等。正因为如此，收入这个数字概念，才对我们重要。
但是，上面的逻辑有个要点：时间段的固定。如果我们想考察不平等状态在历史上长期的演变，就会出现逻辑问题。举个例子，假定没有通货膨胀，十年前穷人月工资五千，富人一万。现在穷人月工资还是五千，富人则变成两万。从收入数字上来看，不平等的确扩大了。但生活品质上呢？是否也必然有"相应"的不平等扩大？这大大的不一定。甚至可能正好相反。
早在2009年，美国著名智库卡图研究所的政策报告中就发表了一篇详细论述此事的论文——《清晰认识不平等》（Thinkingclearly about inequality by Will Wilkinson）。对应于Piketty的所谓资本主义基本矛盾，这篇文章给出的观点可称之为"不平等基本悖论"。
这个基本悖论可以论述为：在资本主义自由市场条件下，任何人要扩大其个人与大众收入数字上的不平等（通俗的说，发财致富），反而要通过压缩富人与大众生活品质上的不平等而实现。
最突出的例子莫过于全球知名的苹果公司。苹果总裁蒂姆库克在2011年拿到的薪酬总计达3.78亿美元。此事被不少人当作当前不平等已经过份的重要证据（严格的说，这来自对其薪酬结构的误解）。不过，为什么苹果公司有实力发出如此海量的薪酬？在于他们能够让全球普通消费者心甘情愿的购买设计精美，功能众多的苹果手机。今天，哪怕是中国和美国的穷人，往往也持有一部苹果。
思考一下——穷人在用苹果手机，富可敌国的富人，例如蒂姆库克本人，投资大佬巴菲特，或者位高权重的官员，例如美国总统奥巴马，在用什么手机？也是苹果手机，以及类似的品牌——比如奥巴马的黑莓手机。换句话说，在手机的品质方面，一个穷人和亿万富翁，已经没什么差别——当然，富翁的苹果存储更大，下载的应用程序更值钱，奥巴马的黑莓则具有强大的安全性能，但是这种差别在使用体验上基本无法体现。穷人富人的手机设计完全相同，存储空间到底是32G还是64G，是否有优质的应用程序，在价格没有什么很大的不同。专门为奥巴马准备的拥有强大安全性能的黑莓机也许价格不菲，但这种特性对一个普通人来说，有和没有并不存在体验上的区别。
所以，智能手机作为当前社会中一件对生活有重要意义的消费品，穷人和富人实在是非常平等。而苹果总裁之所以在2011年拿到如此之高的奖金，原因在于他所领导的公司（以及其他类似的技术公司），促成了这种平等——他们一举将"亿万穷人"的某项消费品质提高到和"亿万富翁"差不多相等的水平。正因为他们的产品能够吸引"亿万穷人"自愿购买，每人送上少量的利润（上百美元量级），才造就了这批"亿万富翁"。他们虽然凭借产品畅销造成了自己和广大穷人的收入数字的高度不平等，但却又通过该产品，使得穷人和富人（包括他们自己）的消费品质大大拉平甚至消失。这正是前面提到的"不平等的基本悖论"所叙述的内容。
把这个案例放进历史的大背景下，会更加看清不平等的真正趋势。
手机发明于80年代，最初中国叫"大哥大"，当时此类产品价格极其昂贵，是普通人绝不敢梦想的，不折不扣的是地位与身份的象征。在美国，普通人用的起的，也只是固定电话而已。九十年代后半期开始，手机才进入普通人的财力范围，那时功能简单的手机和带有比较高级功能（如大彩屏，高存储，照相，游戏功能）的手机价格差别可达10倍以上，从手机品牌区分收入非常容易。当时还没有现在的"智能手机"概念，但有些类似的雏形，例如中国人称为"掌中宝"的PDA等，基本是大富大贵才能染指的范畴。九十年代我印象很深的一大新闻就是，中国的跳水冠军伏明霞嫁给香港财政司长梁锦松，夫君送给她一个PDA。当时感觉这是个极度神奇的东西，压根没敢想象这玩意会和自己有什么联系。
所有这一切产品，和今天的智能手机相比，统统"弱爆了"。科技在进展，人类在进步，所以今天享受的技术比昨天要强，是个很普通的事情。但就像前面指出的，有一个不普通之处——今天手机，早已丧失了20年前那样区分穷富的能力。消费品质大大的平等化了，而不是相反。
从80年代到现在，按照Piketty等经济学家的说法，收入数字的差距在扩大。很多经济学家不同意他们的计算，但的确也没有证据说明收入差距有明显的缩小。但从手机的历史可以看到，生活品质的差距，却有明显的缩小。这说明，仅从收入数字变化来判断不平等在较长期历史过程中的演变，存在重大问题。这个问题的本质，正是"不平等的基本悖论"。
换句话说，收入数字上的差别，造成生活品质实际差别的潜力越来越小。而这种趋势，实际从资本主义诞生那天起，就一直在进行。资本主义推行自由市场，自由交易，要想富，找大众，你必须能让大众主动消费你的产品，达到最广大的用户群，才能致富，这又要求你的产品能够显著的提高广大用户的生活品质。整个工业体系，最终都围绕着这一点展开。专门为极少量富人服务的，的确有，但是不多，而什么东西只要富人消费了之后，会有大量的人为了赚钱，挖空心思，琢磨如何也能推广到穷人。这是巨大的"平等化"力量。
生活中真是充满了类似的例子。拿我们日常消费品来说，富人开的车，是极其昂贵的兰博基尼，穷人开着不起眼的小丰田卡罗拉，但是这二者在效用的差别，实在是没法和其价格上的巨大差别相比。卡罗拉车性能也很稳定，夏天也有空调，内饰材料当然很普通，但是坐在卡罗拉座位上和坐在兰博基尼座位上到底有多大感官上的区别？
再说电视机，穷人的电视小一点，富人高价购买最新款式的各种"巨型"电视，但收看节目时得到的乐趣实在是差不多。而且很快最初看起来高级的电视也迅速进入了穷人的家庭。
既然如此，为何还有人会有动力致富？很大一部分正是来自于人类对这个财富数字的渴望。富人致富之后，不甘心自己的生活看上去和穷人毫无差别，他们在挖空心思制造这种差别。只不过，这种差别，越来越与真正的生活品质脱离关系。
最典型的例子，莫过于名牌奢侈品。LV，香奈儿的皮包，爱马仕的丝巾等等。这种东西之所以高价，只在于因为历史的原因，他们成为了身份和财富的标志物，和实用的功能几乎没有关系。但甚至连这些都很难被保住。在中国，LV和香奈儿已经被称为"街包"，富人要显示身份必须不断另辟蹊径。看过一张搞笑漫画，对比的是一般"土豪"和真亿万富翁。漫画标出土豪和亿万富翁一身行头的价格，土豪穿着昂贵的衬衫和裤子，价值上千美金。而亿万富翁穿着几十美金的衬衫和裤子——但是带着一只几万美金的手表。那只手表的价值，只在于'身份认证"的功能而已。
早有经济学家指出，在这种情况下，富人对奢侈品的消费和追求，等于对富人施加了天然的高额税赋——富人必须出高得多的价格购买这类商品，而其功能品质和穷人所用的基本等同。
理解了"不平等基本悖论"，我们会立即发现，当前将收入数字不平等当作"资本主义基本矛盾"所进行的讨论，存在重大问题。首先从纯粹逻辑角度讲，这忽视了收入数字和实际生活品质的区别。但更加严重的是，这种逻辑上的错误可能带来的政策后果。既然收入数字的不平等，往往恰好和生活品质的平等化是同一硬币的两面（资本主义条件下），则人为降低前者的各种经济政策，很可能干扰这一机制。最终导致的是，收入数字看起来更平等，但反而阻碍了生活品质变得更平等。
拿美国两家著名IT业公司微软和苹果来说，他们由两位传奇人物比尔盖茨和乔布斯与70年代创立，并在80和90年代获得高速发展，那个年代也是美国最尊重市场和自由经济的时代。《21世纪资本论》作者Piketty本人对美国的经济成就颇为不屑。比如他指出，从数字上看美国经济增速比起欧洲也没什么了不起。特别的，他不认为个人奋斗积累财富所造成的差距有什么合理的一面。所以他给出的政策建议是：对所有超过一定数值的资产均征收高额的累进资产税。这种资产税不具有其他的经济优化目的，唯一的目的就是控制"不平等"，防止富人的产生。但思考一下，如果80年代的美国执行的是这类政策，比尔盖茨和乔布斯建立的公司早就会在成长的中途夭折。今天普遍使用的视窗系统，office办公软件，苹果手机等等会不会被发明出来将是个很值得怀疑的问题。这种政策下的世界，不仅生活品质远远落后于今天的现实，生活品质方面的不平等也会大大加剧。
其实，仅仅在十几年前，中国人对美国的一项羡慕之处正是：美国的穷人和富人生活品质上没有什么区别。而当时美国的穷富收入差距当然也很大。只是这种差距在衣食住行方面没法有明显的体现。今天很少有中国人羡慕美国这点，因为这种成就中国也部分实现了——通过资本主义与全球化。
理解了这样的逻辑，结论只能是，与其关注收入数字的不平等，不如关注真正的贫穷问题：如何提高那些仍然没有享受到自由市场好处的穷人的生活品质。至于富翁的财富数字进一步上涨，为何要过多的在乎呢？
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